La cuadratura del círculo o la pelea más tonta entre un filósofo y un matemático …

Muy Interesante(M.A.Sabadell)/Matemáticas y sus fronteras(M.de León) — La relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se encuentra simbolizada por la letra griega pi, posiblemente el número más famoso de las matemáticas.

Todos tuvimos que aprender en la escuela eso de 3,1416. Sin embargo, ése no es el número pi sino una aproximación. El número pi tiene infinitos decimales.

De él, al matemático inglés del siglo pasado Augustus de Morgan escribió: «este misterioso 3,1415927… que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea».

Y es cierto. El número pi sale en multitud de ocasiones que nada tienen que ver con la circunferencia. Por ejemplo: si tomamos al azar dos números naturales ¾ recordemos que los números naturales son el 1, 2, 3… vamos, con los que solemos contar las cosas¾, ¿cuál es la probabilidad de que carezcan de divisores comunes, esto es, números que dividan a los dos de manera exacta?

La respuesta, asombrosa, es que es 6 dividido por pi al cuadrado.

– ¿Qué es pi?

Para los matemáticos pi es un número trascendente. Eso quiere decir que no podemos obtenerlo resolviendo una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones ¾lo que se dice números racionales¾. Por poner un ejemplo.

La raíz cuadrada de 2 no es un número trascendente porque podemos obtenerlo resolviendo la ecuación ‘equis al cuadrado igual a dos’. Con el número pi no podemos hacer lo mismo. Ninguna fracción de números enteros, es decir, números positivos o negativos, puede ser exactamente igual a pi. Eso sí, podemos obtener valores aproximados.

La cuadratura del círculo con regla y compás, tal y como lo entendían los griegos, tiene otra interesante lectura que ha recibido un sorprendente avance en estos últimos años.

La idea ya no es construir el cuadrado partiendo del círculo de la manera tradicional, sino descomponerlo en trozos para con ellos, agrupados de la manera conveniente, construir un cuadrado.

Este cambio de reglas se debe al matemático polaco Alfred Tarski. Su nombre original era Alfred Teitelbaum. Nacido en Varsovia, en 1901, era de origen judío, de una familia acomodada. Cambió su apellido al convertirse al catolicismo.

En 1939 emigró a los Estados Unidos de América, mientras que la mayor parte de su familia que permaneció en Polonia fueron asesinados por los nazis.

Tarski es un matemático muy relevante, conocido sobre todo por sus resultados en teoría de conjuntos y lógica matemática, pero también en otras áreas.

Tarski se interesó por el problema de la cuadratura del círculo cambiando las reglas. Este tema de dividir y luego reunir de otra foma no era nuevo para Tarksi.

En 1924, él y Stefan Banach demostraron que una bola puede cortarse en un número finito de trozos y volver a ensamblarse en una bola de mayor tamaño o, alternativamente, puede volver a ensamblarse en dos bolas cuyo tamaño sea igual al de la original.

Este resultado se llama ahora la paradoja de Banach-Tarski.

Así que en 1925 Alfred Tarski (TARSKI, A. Probléme 38.Fund. Math. 7(1925), 381) reformuló la cuadratura del círculo preguntándose si se podía llevar a cabo la tarea dividiéndolo en un número finito de piezas que se pudieran mover dentro de un plano y volver a ensamblar en un cuadrado de igual área (es decir, que las dos figuras son equidescomponibles).

Miklós Laczkovich demostró en 1990 que esto era posible en 1990; y estimó el número de piezas de su descomposición en aproximadamente 10⁵⁰. Pero su demostración no era constructiva: se podía hacer pero no se sabía como serían las piezas.

Łukasz Grabowski, András Máthé y Oleg Pikhurko, en 2016, consiguieron encontrar una demostración constructiva.

Era posible excepto en un conjunto de medida cero (una idea intuitiva de un conjunto de medida cero la puede dar la medida de una colección finita de puntos o de segmentos en una plano).

Y en 2017, Andrew Marks y Spencer Unger (2017) dieron una solución completamente constructiva utilizando alrededor de 10²⁰⁰ trozos.

La última vuelta de tuerca en la cuadratura del círculo se debe a los matemáticos Andras Máthé y Oleg Pikhurko, de la Universidad de Warwick, y Jonathan Noel, de la Universidad de Victoria. 

En un reciente preprint en arxiv han probado el resyultado pero con piezas de formas más sencillas y fáciles de visualizar.

Los autores siguen trabajando y creen que pueden disminuir el número de piezas de forma considerable. Veremos lo que nos deparan los próximos años inmersos en estas sutilezas de la teoría de la medida y la combinatoria.

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